Probabilidad condicionada
Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio.
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define
Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad
Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.
Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?
Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}
el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definicion de probabilidad
p(A) = 1/4 = 0,25
el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definicion de probabilidad
p(A) = 1/4 = 0,25
La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?
Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY}
la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definicion anterior
p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5
Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definicion clasica de probabilidad al nuevo espacio muestral
p(A|B) = 1/2 = 0,5
Ejemplo 4:Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
A Ç B = {ser hipertenso y fumador}
p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A)
llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos
p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2)
En general p(A1 Ç A2 Ç A3 ...) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) ...
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.
llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.
Ejemplo 5:
Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes.
Definimos A1 = {la 1ª bola es azul}; A2 = {la 2ª bola es verde}; A3 = {la 3ª bola es verde}
p(A1) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.
p(A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.
p(A3|A1 Ç A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.
p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18
p(A1) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.
p(A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.
p(A3|A1 Ç A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.
p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si y sólo si p(A Ç B) = p(A) p(B).
Si dos sucesos son independientes
Si dos sucesos son independientes
y del mismo modo p(B|A) = p(B).
Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes.
Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes.
Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes?
el espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}
Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY}
A Ç B = {xY}
por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes.
E1: tuberculosis pulmonar; E2 :cáncer de pulmón; E3: bronquitis obstructiva; etc.
y Si a los síntomas y síndromes asociados con las mismas.
S1: tos; S2: estado febril; S3: hemotisis; etc.
La información accesible en los libros de patología, o en un archivo de historias clínicas es del tipo.
Para E1: algunos (digamos el 20%) tienen hemotisis; muchos (80%) tienen tos; etc.
y lo mismo para las demás enfermedades.
Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY}
A Ç B = {xY}
por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes.
Teorema de Bayes
Aplicaciones
Diagnóstico médico (en general clasificaciones no biunívocas): El diagnóstico consiste en establecer la enfermedad de un paciente, a partir de una serie de síntomas. Pero los síntomas y las enfermedades no están ligados de un modo biunívoco.
Llamemos Ei al conjunto de enfermedades
E1: tuberculosis pulmonar; E2 :cáncer de pulmón; E3: bronquitis obstructiva; etc.
y Si a los síntomas y síndromes asociados con las mismas.
S1: tos; S2: estado febril; S3: hemotisis; etc.
La información accesible en los libros de patología, o en un archivo de historias clínicas es del tipo.
Para E1: algunos (digamos el 20%) tienen hemotisis; muchos (80%) tienen tos; etc.
y lo mismo para las demás enfermedades.
En términos de probabilidad condicionada, esta información es
p(S3|E1) = 0,2; p(S1|E1) = 0,8 etc.
para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, para los síntomas que presenta el paciente p(E1|Si) para lo que se puede usar el teorema de Bayes si las enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes y se consideran todas las enfermedades compatibles con el síntoma) y se conocen sus prevalencias.Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico diferente en poblaciones en las que las prevalencias fueran diferentes.
p(S3|E1) = 0,2; p(S1|E1) = 0,8 etc.
para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, para los síntomas que presenta el paciente p(E1|Si) para lo que se puede usar el teorema de Bayes si las enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes y se consideran todas las enfermedades compatibles con el síntoma) y se conocen sus prevalencias.Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico diferente en poblaciones en las que las prevalencias fueran diferentes.
Pruebas diagnósticas: Supóngase una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de glucosa en sangre, en ayunas, para diagnosticar la diabetes. Se considera que la prueba es positiva si se encuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.
Para evaluar la prueba, (habrá que hacerlo para distintos valores de corte) se somete a la misma a una serie de individuos diabéticos diagnosticados por otro procedimiento (el patrón de oro o "gold standar") y a una serie de individuos no diabéticos. Los resultados se pueden representar en una tabla de doble entrada
Patrón de oro
| ||||
NE
|
E
| |||
Prueba
|
-
|
a
|
b
|
r
|
+
|
c
|
d
|
s
| |
t
|
u
| |||
Si la prueba fuera perfecta b=c=0, desgraciadamente nunca ocurre. Se denomina coeficiente falso-positivo (CFP) al cociente c/t, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(+|NE), se denominacoeficiente falso-negativo (CFN) al cociente b/u, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(-|E). Estos dos coeficientes cuantifican los dos errores que la prueba puede cometer y caracterizan a la misma. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican los aciertos son la sensibilidad, p(+|E), y la especificidad p(-|NE).
Cuando la prueba se usa con fines diagnósticos (o de "screening") interesa calcular p(E|+) y/o p(NE|-).
No hay comentarios.:
Publicar un comentario