La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas:
- La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.
- La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos.
De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.
PROBABILIDAD
En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble (Paradoja del Cumpleaños »). No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas.
ESTADÍSTICA
Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de comunicación, periódico, radio, televisión, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística.
EJERCICIOS:
1. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un
conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un
premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que
pueden recibir el primer
Premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir
el segundo, y
Posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el
número de maneras
Distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
2. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer
utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
Admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x
2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo! se lee factorial y es el producto resultante
de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es
relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un
dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el
número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y
contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1
niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
“Si un
suceso se puede realizar de “m” formas diferentes y luego se puede realizar
otro suceso de “n” formas diferentes, el número total de formas en que pueden
ocurrir es igual a m x n”. Es decir, ambos eventos se realizan,
primero uno y luego el otro. El “y” indica multiplicación.
Si se desea realizar una actividad que consta de r
pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser
llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras
o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces
esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto,
uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el
evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el
evento E el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de
maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es
igual a producto.
N1 x N2 x..........x
Nr maneras o formas
EjemploS:
1. Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2
y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede
organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3) (4)=12
2.
¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3
camisas?
Para vestirse, la persona se
pone el pantalón y luego la camisa, es decir
tiene 3 x 3 = 9 opciones diferentes de vestirse.
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál
tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa
puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas
puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada a cabo de,
M +
N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos: Una persona desea comprar una lavadora de ropa,
para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool,
Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la
lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos),
en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras
que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15
kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática
y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de
11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas
maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora
Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora
de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora
de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de
seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m
maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra
pueden efectuarse de:
m+n
maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero
para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen
un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un
modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal.
¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2
n=3
2+3=5 MANERAS
¿De
cuántas formas se puede proteger del frío una persona que tiene 3 chompas y 3
casacas? sabiendo que no se puede poner casaca y chompa a la vez.
Para enfrentar el frío, la
persona se puede poner casaca o chompa, es
decir, tiene 3 + 3 = 6 opciones diferentes para protegerse del frío.
PRINCIPIO
DE PERMUTACION:
A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se
la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un
solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos
seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los
arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se
utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n!
(n - r)
Ejemplo: ¿Cómo se puede designar los cuatro
primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la fórmula de
la permutación tenemos:
n
P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!
11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Dónde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!=
factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar
números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.
PRINCIPIO DE COMBINACION:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es
diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos
resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo
de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C).
Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los
resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay
funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo
de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r =
n!
r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer
un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto.
Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal
suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será
adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 –
3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las
42 partes del producto.
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